МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Министерство образования Свердловской области
Департамент образования Администрации города Екатеринбурга
Муниципальное автономное общеобразовательное учр еждение лицей
№ 12
(МАОУ лицей № 12)
Приложение к ООП ООО

СОГЛАСОВАНО
Педагогическим советом
протокол от 31.08.2026 № 1

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» (Углубленный уровень)
8-9 классы
2026-2027 учебный год

Екатеринбург, 2026

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
8 КЛАСС
Множество и подмножество. Примеры множеств в окружающем мире.
Пересечение и объединение множеств. Диаграммы Эйлера. Числовые
множества. Примеры множеств из курсов алгебры и геометрии. Перечисление
элементов множеств с помощью организованного перебора и правила
умножения. Формула включения-исключения.
Элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с
равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор.
Измерение рассеивания числового массива. Дисперсия и стандартное
отклонение числового набора. Свойства дисперсии и стандартного
отклонения. Диаграммы рассеивания двух наблюдаемых величин. Линейная
связь на диаграмме рассеивания.
Дерево. Дерево случайного эксперимента. Свойства деревьев:
единственность пути, связь между числом вершин и числом рёбер. Понятие о
плоских графах. Решение задач с помощью деревьев.
Логические союзы «И» и «ИЛИ». Связь между логическими союзами и
операциями над множествами. Использование логических союзов в алгебре.
Случайные события как множества элементарных событий.
Противоположные события. Операции над событиями. Формула сложения
вероятностей.
Правило
умножения
вероятностей.
Условная
вероятность.
Представление случайного эксперимента в виде дерева. Независимые
события.
9 КЛАСС
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число
сочетаний и треугольник Паскаля. Свойства чисел сочетаний. Бином Ньютона.
Решение задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка, из дуги окружности.
Испытания. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия
испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Случайный выбор из конечного множества.
Случайная величина и распределение вероятностей. Примеры случайных
величин. Важные распределения – число попыток в серии испытаний до

первого успеха и число успехов в серии испытаний Бернулли (геометрическое
и биномиальное распределения).
Математическое ожидание случайной величины. Физический смысл
математического ожидания. Примеры использования математического
ожидания. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины.
Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание
и дисперсия изученных распределений.
Неравенство Чебышёва. Закон больших чисел. Математические
основания измерения вероятностей. Роль и значение закона больших чисел в
науке, в природе и обществе, в том числе в социологических обследованиях и
в измерениях.

ПЛАНИРУЕМЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ
ПРОГРАММЫ
УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» НА
УГЛУБЛЕННОМ УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы по математике
характеризуются в части:
1) патриотического воспитания:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской
математики, ценностным отношением к достижениям российских
математиков и российской математической школы, к использованию этих
достижений в других науках и прикладных сферах;
2) гражданского и духовно-нравственного воспитания:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его
прав, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например,
выборы, опросы), готовностью к обсуждению этических проблем, связанных
с практическим применением достижений науки, осознанием важности
морально-этических принципов в деятельности учёного;
3) трудового воспитания:
установкой на активное участие в решении практических задач
математической направленности, осознанием важности математического
образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной
деятельности и развитием необходимых умений, осознанным выбором и
построением индивидуальной траектории образования и жизненных планов с
учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетического воспитания:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию
математических объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть
математические закономерности в искусстве;
5) ценностей научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных
представлений об основных закономерностях развития человека, природы и
общества, пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации,
овладением языком математики и математической культурой как средством
познания мира, овладением навыками исследовательской деятельности;
6) физического воспитания, формирования культуры здоровья и
эмоционального благополучия:

готовностью применять математические знания в интересах своего
здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая
активность), сформированностью навыка рефлексии, признанием своего права
на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологического воспитания:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач в
области сохранности окружающей среды, планирования поступков и оценки
их возможных последствий для окружающей среды, осознанием глобального
характера экологических проблем и путей их решения;
8) адаптации к изменяющимся условиям социальной и природной
среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению
уровня своей компетентности через практическую деятельность, в том числе
умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности
новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, формулировать идеи,
понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе ранее неизвестных,
осознавать дефициты собственных знаний и компетентностей, планировать
своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать
стрессовую ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать
принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и
последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В результате освоения программы по математике на уровне основного
общего образования у обучающегося будут сформированы метапредметные
результаты,
характеризующиеся
овладением
универсальными
познавательными
действиями,
универсальными
коммуникативными
действиями и универсальными регулятивными действиями.
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;

воспринимать,
формулировать
и
преобразовывать
суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия
в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), проводить самостоятельно доказательства математических
фактов, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры,
применять метод математической индукции, обосновывать собственные
рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно
выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу,
аргументировать свою позицию, мнение;
проводить по самостоятельно составленному плану эксперимент,
исследование по установлению особенностей математического объекта,
зависимостей объектов между собой;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, эксперимента, оценивать
достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять недостаточность и избыточность информации, данных,
необходимых для решения задачи;
выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать
информацию различных видов и форм представления;
выбирать форму представления информации и иллюстрировать
решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их комбинациями;
оценивать надёжность информации по критериям, предложенным или
сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:

воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных
и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных математических задач, принимать цель
совместной деятельности, планировать организацию совместной работы,
распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат
работы, обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные); выполнять свою часть работы и координировать
свои действия с другими членами команды, оценивать качество результата и
качество своего вклада в общий результат по критериям, сформулированным
участниками взаимодействия.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
выявлять проблемы для решения в жизненных и учебных ситуациях,
ориентироваться в различных подходах принятия решений (индивидуальное,
групповое);
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его
часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и
собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты
решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата
решения математической задачи, самомотивации и рефлексии;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
найденных ошибок, выявленных трудностей;

оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и
условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели, находить
ошибку, давать оценку приобретённому опыту;
выражать эмоции при изучении математических объектов и фактов,
давать эмоциональную оценку решения задачи.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 7 классе обучающийся получит следующие предметные
результаты:
Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,
представлять данные в виде таблиц, строить столбиковые (столбчатые) и
круговые диаграммы по массивам значений.
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные,
представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Использовать для описания данных статистические характеристики:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения,
размах, квартили.
Иметь представление о логических утверждениях и высказываниях,
уметь строить отрицания, формулировать условные утверждения при решении
задач, в том числе из других учебных курсов, иметь представление о теоремахсвойствах и теоремах-признаках, о необходимых и достаточных условиях, о
методе доказательства от противного.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах
результатов измерений, цен, физических величин, антропометрических
данных, иметь представление о статистической устойчивости.
Использовать для описания данных частоты значений, группировать
данные, строить гистограммы группированных данных.
Использовать графы для решения задач, иметь представление о терминах
теории графов: вершина, ребро, цепь, цикл, путь в графе, иметь представление
об обходе графа и об ориентированных графах.
К концу обучения в 8 классе обучающийся получит следующие предметные
результаты:
Оперировать понятиями множества, подмножества, выполнять операции
над множествами: объединение, пересечение, перечислять элементы
множеств с использованием организованного перебора и комбинаторного
правила умножения.

Находить вероятности случайных событий в случайных опытах, зная
вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями, иметь понятие о случайном выборе.
Описывать данные с помощью средних значений и мер рассеивания
(дисперсия и стандартное отклонение). Уметь строить и интерпретировать
диаграммы рассеивания, иметь представление о связи между наблюдаемыми
величинами.
Иметь представление о дереве, о вершинах и рёбрах дерева,
использовании деревьев при решении задач в теории вероятностей, в других
учебных математических курсах и задач из других учебных предметов.
Оперировать понятием события как множества элементарных событий
случайного опыта, выполнять операции над событиями, использовать при
решении задач диаграммы Эйлера, числовую прямую, применять формулу
сложения вероятностей.
Пользоваться правилом умножения вероятностей, использовать дерево
для представления случайного опыта при решении задач. Оперировать
понятием независимости событий.
К концу обучения в 9 классе обучающийся получит следующие предметные
результаты:
Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число
перестановок, число сочетаний, пользоваться треугольником Паскаля при
решении задач, в том числе на вычисление вероятностей событий.
Использовать понятие геометрической вероятности, находить
вероятности событий в опытах, связанных со случайным выбором точек из
плоской фигуры, отрезка, длины окружности.
Находить вероятности событий в опытах, связанных с испытаниями до
достижения первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайных величинах и опознавать случайные
величины в явлениях окружающего мира, оперировать понятием
«распределение вероятностей». Уметь строить распределения вероятностей
значений случайных величин в изученных опытах.
Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины
по распределению, применять числовые характеристики изученных
распределений при решении задач.
Иметь представление о законе случайных чисел как о проявлении
закономерности в случайной изменчивости, понимать математическое
обоснование близости частоты и вероятности события. Иметь представление
о роли закона больших чисел в природе и обществе.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
8 КЛАСС
№ п/п

Наименование разделов и тем
программы

Количество часов
Всего

Контрольные
работы

Практические
работы

Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы

1

Повторение курса 7 класса

3

https://m.edsoo.ru/A3VD2DD2O

2

Множества

4

https://m.edsoo.ru/GOWH78BCH

3

Вероятность случайного события

4

1

4

Описательная статистика.
Рассеивание данных

5

1

5

Введение в теорию графов

3

https://m.edsoo.ru/V1EADTJLG

6

Логика

2

https://m.edsoo.ru/UDZCPBVS7

7

Операции над случайными
событиями. Сложение вероятностей

3

https://m.edsoo.ru/E7OTBSFIP

8

Условная вероятность, умножение
вероятностей, независимые события

5

https://m.edsoo.ru/M5N8T397S

9

Повторение, обобщение,
систематизация знаний

5

1

34

3

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ

1

https://m.edsoo.ru/8MC0BGX9P
https://m.edsoo.ru/Y0U8JQGBT

https://m.edsoo.ru/FB5FKQF2N

1

9 КЛАСС
№ п/п

Наименование разделов и тем
программы

Количество часов
Всего

Контрольные
работы

Практические
работы

Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы

1

Повторение курса 8 класса

3

https://m.edsoo.ru/SEK6DG9W4

2

Элементы комбинаторики

6

https://m.edsoo.ru/V9TTXSB5N

3

Геометрическая вероятность

3

https://m.edsoo.ru/T6VV9V019

4

Испытания Бернулли

6

https://m.edsoo.ru/GUK2C9DVF

5

Случайная величина

3

https://m.edsoo.ru/P5E8LZIC7

6

Числовые характеристики
случайных величин

6

https://m.edsoo.ru/U91TNCHN0

7

Закон больших чисел

3

https://m.edsoo.ru/6LIHQZ6Y2

8

Повторение, обобщение,
систематизация знаний

4

1

34

1

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ

https://m.edsoo.ru/39X193J5D

0

Рекомендации по оценке знаний и умений учащихся по математике
1. Содержание и объем материала, подлежащего проверке, определяется
программой. При проверке усвоения материала нужно выявлять полноту, прочность
усвоения учащимися теории и умения применять ее на практике в знакомых и
незнакомых ситуациях.
2. Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике
являются письменная контрольная работа и устный опрос. При оценке письменных и
устных ответов учитель в первую очередь учитывает показанные учащимися знания и
умения. Оценка зависит также от наличия и характера погрешностей, допущенных
учащимися.
3. Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность считается
ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел основными знаниями,
умениями, указанными в программе.
К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном
или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии
знаний, не считающихся в программе основными. Недочетами также считаются:
погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного учеником задания
или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа.
Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной.
При одних обстоятельствах допущенная учащимися погрешность может
рассматриваться учителем как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах —
как недочет.
4. Задания для устного и письменного опроса учащихся состоят из теоретических
вопросов и задач.
Ответ на теоретический вопрос считается безупречным, если по своему
содержанию полностью соответствует вопросу, содержит все необходимые
теоретические факты я обоснованные выводы, а его изложение и письменная запись
математически грамотны и отличаются последовательностью и аккуратностью.
Решение задачи считается безупречным, если правильно выбран способ
решения, само решение сопровождается необходимыми объяснениями, верно
выполнены нужные вычисления и преобразования, получен верный ответ,
последовательно и аккуратно записано решение.
5. Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе проводится по
пятибалльной системе, т. е. за ответ выставляется одна из отметок: 1 (плохо), 2
(неудовлетворительно), 3 (удовлетворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).
6. Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или
оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом
развитии учащегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный
вопрос, предложенные учащемуся дополнительно после выполнения им заданий.
Критерии ошибок

К грубым ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание
учащимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять;
незнание приемов решения задач, а также вычислительные ошибки, если они не
являются опиской;
К негрубым ошибкам относятся: потеря корня или сохранение в ответе
постороннего корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные им;
К недочетам относятся: нерациональное решение, описки, недостаточность
или отсутствие пояснений, обоснований в решениях
Оценка устных ответов учащихся (в том числе зачетов)
Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:
 полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном
программой и учебником,
 изложил материал грамотным языком в определенной логической
последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;
 правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
 показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными
примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;
 продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих
вопросов,
сформированность и
устойчивость
используемых при отработке умений и навыков;
 отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя. Возможны
одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках,
которые ученик легко исправил по замечанию учителя.
Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворяет в основном
требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:
 в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое
содержание ответа;
 допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа,
исправленные по замечанию учителя;
 допущены ошибка или более двух недочетов при освещении
второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию
учителя.
Отметка «3» ставится в следующих случаях:
 неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но
показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для
дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к
математической подготовке учащихся»);
 имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий,
использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные
после нескольких наводящих вопросов учителя;

 ученик не справился с применением теории в новой ситуации при
выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня
сложности по данной теме;
 при
знании
теоретического
материала
выявлена
недостаточная
сформированность основных умений и навыков.
Отметка «2» ставится в следующих случаях:
 не раскрыто основное содержание учебного материала;
 обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее
важной части учебного материала;
 допущены ошибки в определении понятий, при использовании
математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках,
которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.
Отметка «1» ставится, если:
 ученик обнаружил полное незнание и непонимание изучаемого учебного
материала или не смог ответить ни на один из по- ставленных вопросов по изучаемому
материалу.
Оценка письменных (контрольных,
самостоятельных) работ учащихся
Отметка «5» ставится, если:
 работа выполнена полностью;
 в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
 в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность,
описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
 работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны
(если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом
проверки);
 допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках,
чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом
проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках,
чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по
проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:



допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не
владеет
обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если:
работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по
проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Оценка тестов
Отметка «5» ставится, если: верно выполнено 85% - 100% работы.
Отметка «4» ставится, если: верно выполнено 65% - 84% работы.
Отметка «3» ставится, если: верно выполнено 50% - 64% работы.
Отметка «2» ставится, если: верно выполнено 30% - 49% работы.
Отметка «1» ставится, если: верно выполнено 0% - 29% работы.